解：①当点P在x轴上方时，

取OG=OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM=∠GBO，

则∠OBP=2∠OBE，过点G作GH⊥BM，如图，

∵点E的坐标为(0，

- \frac{3}{2}

)， ∴OE=

\frac{3}{2}

，

∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB，

∴GH= GO=OE=

\frac{3}{2}

，BH=BO=3，

设MH=x，则MG= $\sqrt{x^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} = \sqrt{x^{2} + \frac{9}{4}}$ ，

在△OBM中，OB²+OM²=MB²，即 $3^{2} + {(\frac{3}{2} + \sqrt{x^{2} + \frac{9}{4}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$ ，

解得：x=2，

故MG= $\sqrt{x^{2} + \frac{9}{4}}$ = $\frac{5}{2}$ ，则OM=MG+ GO= $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2} = 4$ ，

点M的坐标为(0，4)，

设直线BM的表达式为： $y = k x + b$ ，

将点B(3，0)、M(0，4)代入得： ${\begin{matrix} 3 k + b = 0 \\ b = 4 \end{matrix}$ ，

解得：

{\begin{matrix} k = - \frac{4}{3} \\ b = 4 \end{matrix}

，

∴直线BM的表达式为：y= $- \frac{4}{3}$ x+4，

解方程组

{\begin{matrix} y = ﹣ x^{2} + 2 x + 3 \\ y = - \frac{4}{3} x + 4 \end{matrix}

解得：x=3(舍去)或 $\frac{1}{3}$ ，

将x= $\frac{1}{3}$ 代入 y= $- \frac{4}{3}$ x+4得y= $\frac{32}{9}$ ，

故点P的坐标为( $\frac{1}{3}$ ， $\frac{32}{9}$ )；

②当点P在x轴下方时，如图，过点E作EN⊥BP，直线PB交y轴于点M，

∵∠OBP=2∠OBE，

∴BE是∠OBP的平分线，

∴EN= OE=

\frac{3}{2}

，BN=OB=3，

设MN=x，则ME= $\sqrt{M N^{2} + E N^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}}$ ，

在 $R t$ △OBM中，OB²+OM²=MB²，即 $3^{2} + {(\frac{3}{2} + \sqrt{x^{2} + \frac{9}{4}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$ ，

解得：

x = 2

，

∴ $M E = \sqrt{x^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} = \frac{5}{2}$ ，则OM=ME+ EO= $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2} = 4$ ，

点M的坐标为(0，-4)，

设直线BM的表达式为： $y = k x + b$ ，

将点B(3，0)、M(0，-4)代入得： ${\begin{matrix} 3 k + b = 0 \\ b = - 4 \end{matrix}$ ，

解得：

{\begin{matrix} k = \frac{4}{3} \\ b = - 4 \end{matrix}

，

∴直线BM的表达式为： $y = \frac{4}{3} x - 4$ ，

解方程组

{\begin{matrix} y = ﹣ x^{2} + 2 x + 3 \\ y = \frac{4}{3} x - 4 \end{matrix}

解得：x=3(舍去)或 $- \frac{7}{3}$ ，

将x= $- \frac{7}{3}$ 代入 $y = \frac{4}{3} x - 4$ 得 $y = - \frac{64}{9}$ ，

故点P的坐标为( $- \frac{7}{3}$ ， $- \frac{64}{9}$ )；

综上，点P的坐标为：( $\frac{1}{3}$ ， $\frac{32}{9}$ )或( $- \frac{7}{3}$ ， $- \frac{64}{9}$ ) ．

广东省佛山市顺德区江义中学2020年中考数学二模试卷