解：①连结AD，

∵△ADC∽△DEC， $\frac{A C}{C D} = \frac{C D}{C E}$

∴y=tan∠AEC= $\frac{A C}{C E} = \frac{A C}{C D} \cdot \frac{C D}{C E} = {(\frac{C D}{C E})}^{2}$

过点D作DF⊥CE，

不妨设EF=a，

∵∠CED=∠CBA，∠DCE=45°

∴CF=DF=ax，∴CD= $\sqrt{2}$ ax。

∴y= ${(\frac{C D}{C E})}^{2} = {(\frac{\sqrt{2} a x}{a + a x})}^{2} = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$

解法二：过点B画BH⊥DE于点H，

设AC=m，圆O的半径为r，则BC= $\frac{m}{x}$ ，EC= $\frac{m}{y}$ ，

在Rt△ABC中， ${(\frac{m}{x})}^{2}$ +m²=（2r）²-----①

在Rt△BHE中，x= $\frac{B H}{H E}$ ，HE= $\frac{r}{x}$ ，（ $\frac{r}{x}$ ）²+r²=（ $\frac{m}{y} - \frac{m}{x}$ ）²----②

由①得， ${(\frac{1}{x})}^{2}$ +1= $\frac{4 r^{2}}{m^{2}}$ ，由②得， ${(\frac{1}{x})}^{2}$ +1= ${(\frac{1}{y} - \frac{1}{x})}^{2}$ · $\frac{m^{2}}{r^{2}}$

∴2（ $\frac{1}{y} - \frac{1}{x}$ ）= $\frac{1}{x^{2}}$ +1，即y= $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$

②∵ $\frac{C B}{B E} = \frac{4}{5}$ ，∴ $\frac{C B}{C E} = \frac{4}{9}$ ，∴ $\frac{C A}{C B} ： \frac{C A}{C E}$ =9：4，即x：y=9：4

将y= $\frac{4}{9}$ x代入y= $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ 得，

$\frac{4}{9} x = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，解得x₁=2，x₂= $\frac{1}{2}$

当x=2时，∴y= $\frac{8}{9}$ ；当x= $\frac{1}{2}$ ，∴y= $\frac{2}{9}$

∴y= $\frac{2}{9}$ 或 $\frac{8}{9}$ ----14分

浙江省宁波市鄞州区2020年初中学业水平模拟考试数学试题