解：①由题意得：OP=2t，OE=t，

∵DE∥OB，

∴△CDE∽△CBO，

∴ $\frac{C E}{C O} = \frac{E D}{O B}$ ，即 $\frac{2 - t}{2} = \frac{D E}{4}$ ，

∴DE=4﹣2t，

∴ $\frac{1}{O P} + \frac{1}{D E} = \frac{1}{2 t} + \frac{1}{4 - 2 t} = \frac{1}{- t^{2} + 2 t} = \frac{1}{1 - {(t - 1)}^{2}}$ ，

∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）²始终为正数，且t=1时，1﹣（t﹣1）²有最大值1，

∴t=1时， $\frac{1}{1 - {(t - 1)}^{2}}$ 有最小值1，即t=1时， $\frac{1}{O P} + \frac{1}{D E}$ 有最小值1，此时OP=2，OE=1，

∴E（0，1），P（2，0）；

②存在，

∵抛物线y= $\frac{1}{4}$ x²﹣ $\frac{3}{2}$ x+2的对称轴方程为x=3，

设F（3，m），

∴EP²=5，PF²=（3﹣2）²+m²，EF²=（m﹣1）²+3²，

当△EFP为直角三角形时，

（a）当∠EPF=90°时，

EP²+PF²=EF²，

即5+1+m²=（m﹣1）²+3²，

解得：m=2，

（b）当∠EFP=90°时，

EF²+FP²=PE²，

即（m﹣1）²+3²+（3﹣2）²+m²=5，

此方程无解，不合题意舍去，

∴当∠EFP=90°时，

这种情况不存在，

（c）当∠PEF=90°时，

EF²+PE²=PF²，

即（m﹣1）²+3²+5=（3﹣2）²+m²，

解得：m=7，

∴F（3，2），（3，7）．

2016年湖北省孝感市安陆市中考数学模拟试卷（3月份）