解：存在.

∵ $y= - x^{2} +2 \sqrt{3} x$ 的顶点坐标为（ $\sqrt{3}$ ，3），即为点C.

MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，

∵∠BOA＝30⁰，所以ON＝ $\sqrt{3} t$

∴P（ $\sqrt{3} t，t$ ）

作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E.

把 $x = \sqrt{3} t$ 代入 $y= - x^{2} +2 \sqrt{3} x$ 得： $y = - 3 t^{2} + 6 t$ .

∴ M（ $\sqrt{3} t$ ， $- 3 t^{2} + 6 t$ ），E（ $\sqrt{3}$ ， $- 3 t^{2} + 6 t$ ）.

同理：Q（ $\sqrt{3}$ ，t），D（ $\sqrt{3}$ ，1）.

要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD，

即 $3 - (- 3 t^{2} + 6 t) = t - 1$ ，解得： $t_{1} = \frac{4}{3}$ ， $t_{2} = 1$ （舍去）.

∴ P点坐标为（ $\frac{4}{3} \sqrt{3}$ ， $\frac{4}{3}$ ）.

∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（ $\frac{4}{3} \sqrt{3}$ ， $\frac{4}{3}$ ）.

湖北省黄石市第八中学2020年九年级数学线上第一次调研试卷