解：

连接A′B，AB′交于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A′作A′G⊥x轴于点G，

∵四边形ABB′A′为正方形，

∴∠BA A′=90°，AB= A′A，BE= A′E= B′E=AE，

∵∠BA A′=90°，

∴∠BAF+∠A′AG=90°，

∵∠ABF+∠BAF=90°，

∴∠A′AG=∠ABF，

在△BAF与△A′AG中，

∵∠BFA=∠AG A′，∠ABF=∠A′AG，AB= A′A，

∴△BAF≌△A′AG，

∴A′G=AF，AG=BF，

∵AF=2，BF=3，

∴点A′的横坐标=OG=OA+AG=4，

点A′的纵坐标= A′G=2，

即点A′的坐标为(4，2)，

∵点A′的坐标为(4，2)，点B的坐标为( $- 1$ ，3)，E是A′B的中点，

∴点E的坐标为：( $\frac{3}{2}$ ， $\frac{5}{2}$ )，

∵E是A B′的中点，点A的坐标为(1，0)，

∴点B′的横坐标= $2 \times \frac{3}{2} - 1 = 2$ ，点B′的纵坐标= $2 \times \frac{5}{2} - 0 = 5$ ，

即点B′的坐标为(2，5)，

过A、B两点的抛物线的解析式为： $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + 1$ ，

化为顶点式为： $y = \frac{1}{2} {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{1}{8}$ ，

设平移后的解析式为： $y = \frac{1}{2} {(x - \frac{3}{2} - h)}^{2} - \frac{1}{8} + k$ ，

假设其经过点A′、B′，

则： $2 = \frac{1}{2} \times {(4 - \frac{3}{2} - h)}^{2} - \frac{1}{8} + k$ ，

$5 = \frac{1}{2} \times {(2 - \frac{3}{2} - h)}^{2} - \frac{1}{8} + k$ ，

∴ $h = 3$ ， $k = 2$ ，

故存在经过A′、B′两点的抛物线，其解析式为： $y = \frac{1}{2} {(x - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{15}{8}$ ，

当正方形为ABB′′A′′时，同理可得点A′′的坐标为( $- 2$ ， $- 2$ )，点B′′的坐标为( $- 4$ ，1)，

此时经过A′′、B′′两点的抛物线的解析式为： $y = \frac{1}{2} {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{17}{8}$ .

陕西省西安市莲湖区西安益新中学2020年数学中考一模试卷