解：如图，连接BP，

由对称性得：OA=OB，

∵Q是AP的中点，

∴OQ= $\frac{1}{2}$ BP，

∵OQ长的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，

∴BP长的最大值为 $\frac{3}{2}$ ×2=3，

如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，

∵CP=1，

∴BC=2，

∵B在直线y=2x上，

设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC²=CD²+BD²，

∴2²=(t+2)²+(-2t)²，

t=0(舍)或- $\frac{4}{5}$ ，

∴B(- $\frac{4}{5}$ ，- $\frac{8}{5}$ )，

∵点B在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (k＞0)的图象上，

∴k=- $\frac{4}{5}$ ×(- $\frac{8}{5}$ )= $\frac{32}{25}$ ；

湖南师大附中博才实验中学2019年中考数学二模试卷