解：①如图，∠B=∠D=90°时延长AD，BC交于点E

∵∠DAB=60°

∴∠E=30°

又 ∵AB=4，AD=3

∴ $B E = 4 \sqrt{3} ， A E = 8 ， D E = 5$

∴ $C E = \frac{5}{cos 30 °} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

∴ $B C = 4 \sqrt{3} - \frac{10 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

∴ $A C = \sqrt{4^{2} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{39}}{3}$

②如图，∠A=∠C=60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F

∵∠DAB=∠BCD=60°

又 ∵AB=4，AD=3

∴ $A E = \frac{3}{2} ， D E = B F = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

∴ $B E = D F = \frac{5}{2}$

∴ $C F = \frac{5 \sqrt{3}}{6} ， B C = \frac{5 \sqrt{3}}{6} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$

∴ $A C = \sqrt{4^{2} + {(\frac{7 \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{291}}{3}$

综上， $A C = \frac{2 \sqrt{39}}{3} 或 \frac{\sqrt{291}}{3}$

湖南省长沙市天心区明德教育集团2019年中考数学5月模拟试卷