解：①如图1-1中，

∵OA＝2， $∠ A M O = 30 °$ ，

∴OM＝ $2 \sqrt{3}$ ，

易得直线 $A M$ 的解析式为： $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$ ，

∴ $E (\sqrt{3} ， 1)$ 在直线 $A M$ 上，

因为 $O E = O A = 2 ，$ $∠ M A O = 60^{\circ}$ ，

所以 $△ O A E$ 为等边三角形，

所以 $A E$ 边上的高长为 $\sqrt{3}$ ，

当点 $P$ 在 $A E$ 上时， $\sqrt{3} \leq O P \leq 2$ ，

所以当点 $P$ 在 $A E$ 上时，点 $P$ 都是等边 $△ A B C$ 的中心关联点，

所以 $0 \leq m \leq \sqrt{3}$ ；

$②$ 如图1-2中，设平移后的直线交 $y$ 轴于点 $G ，$ 过点 $O$ 作这条直线的垂线，垂足为 $H$ ，

当 $O H = 2$ 时，在 $R t △ O H G$ 中， $∵ O H = 2 ， ∠ H G O = 60^{\circ}$ ，

$∴ \sin 60 ° = \frac{O H}{O G}$ ，

$∴ O G = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，

$∴$ 满足条件的 $b$ 的值为 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \leq b \leq 2$ ；

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