解：①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤

\frac{9}{5}

时，

∵EF⊥AB，

∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即 $\frac{A E}{A C} = \frac{E F}{B C}$ ，

∵AC＝3，BC＝4，AE＝x，

∴ $\frac{x}{3} = \frac{E F}{4}$ ，EF＝ $\frac{4}{3}$ x，

S_△_AEF＝y＝ $\frac{1}{2} A E \cdot E F = \frac{1}{2} x \cdot \frac{4}{3} x = \frac{2}{3} x^{2}$ .

如图B：当AD＜x≤AB，即 $\frac{9}{5}$ ＜x≤5时，

∵EF⊥AB，

∴Rt△BEF∽Rt△BCA，

∴ $\frac{E B}{B C} = \frac{E F}{A C}$ ，

∵AE＝x，△AEF的面积为y， $\frac{5 - x}{4} = \frac{E F}{3}$ ，

∴EF＝ $\frac{15 - 3 x}{4}$ ，

$y = \frac{1}{2} \times A E \times E F = \frac{1}{2} x \cdot \frac{15 - 3 x}{4} = \frac{15 x}{8} - \frac{3 x^{2}}{8}$ .

②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤ $\frac{9}{5}$ 时，

$S_{Δ A E F} = y = \frac{1}{2} A E \cdot E F = \frac{1}{2} x \cdot \frac{4}{3} x = \frac{2}{3} x^{2}$ ，

当x＝AD，即x＝ $\frac{9}{5}$ 时，y_最大＝ $\frac{2}{3} \times {(\frac{9}{5})}^{2} = \frac{54}{25}$ .

如图B：当AD＜x≤BD，即 $\frac{9}{5}$ ＜x≤5时，

$y = \frac{1}{2} x \times \frac{3}{4} (5 - x) = \frac{15 x}{8} - \frac{3 x^{2}}{8}$ ，y_最大＝ $\frac{75}{32}$ ，此时x＝2.5＜5，故成立.

故y_最大＝ $\frac{75}{32}$ .

湖北省黄冈市十校联考2020届九年级下学期数学期中考试试卷