解：过P作

PM ⊥ BC

于M，

$△ BPM$ 中， $sin ∠ B = \frac{PM}{PB}$ ，

$∴ PM = PB \cdot sin ∠ B = \frac{\sqrt{3}}{2} (3 - t)$ ，

$∴ S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} BQ \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} (3 - t)$ ，

$∴ y = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \times t \times \frac{\sqrt{3}}{2} (3 - t)$

$= \frac{\sqrt{3}}{4} t^{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{4} t + \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，

$∴ y$ 与t的关系式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{4} t^{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{4} t + \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，

假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是 $△ ABC$ 面积的 $\frac{2}{3}$ ，

则 $S_{四边形 APQC} = \frac{2}{3} S_{△ ABC}$ ，

$∴ \frac{\sqrt{3}}{4} t^{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{4} t + \frac{9 \sqrt{3}}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$∴ t^{2} - 3 t + 3 = 0$ ，

$∵ {(- 3)}^{2} - 4 \times 1 \times 3 < 0$ ，

$∴$ 方程无解，

$∴$ 无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是 $△ ABC$ 面积的 $\frac{2}{3}$ .

甘肃省张掖市临泽二中、三中、四中2018-2019八年级下学期数学期中考试试卷