解：以

B

为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

则 $B_{1} (0 ， 0 ， 2)$ ， $C (- 1 ， \sqrt{3} ， 0)$ ， $C_{1} (- 1 ， \sqrt{3} ， 1)$ ， $D_{1} (0 ， 2 \sqrt{3} ， 2)$

$∴ \vec{B_{1} C} = (- 1 ， \sqrt{3} ， - 2)$ ， $\vec{B_{1} C_{1}} = (- 1 ， \sqrt{3} ， - 1)$ ， $\vec{B_{1} D_{1}} = (0 ， 2 \sqrt{3} ， 0)$

设平面 $B_{1} C_{1} D_{1}$ 的法向量 $\vec{n} = (x ， y ， z)$

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{B_{1} C_{1}} = - x + \sqrt{3} y - z = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{B_{1} D_{1}} = 2 \sqrt{3} y = 0 \end{array}$ ，令 $x = 1$ ，则 $y = 0$ ， $z = - 1$ ， $∴ \vec{n} = (1 ， 0 ， - 1)$

设直线 $B_{1} C$ 与平面 $B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角为 $θ$

则 $\sin θ = \frac{| \vec{B_{1} C} \cdot \vec{n} |}{| \vec{B_{1} C} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{1}{2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{4}$

$∴$ 直线 $B_{1} C$ 与平面 $B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{4}$

安徽省皖江联盟2019-2020学年高三上学期理数12月联考试卷