解：由（1）知，

A C^{2} + C D^{2} = A D^{2}

，

故 $A C ⊥ C D$ .

又 $E C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，所以 $A C$ ， $D C$ ， $E C$ 两两垂直，以C为原点，

直线 $C D$ ， $C A$ ， $C E$ 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系：

依题意， $C (0 ， 0 ， 0)$ ， $A (0 ， 5 ， 0)$ ， $D (12 ， 0 ， 0)$ ， $E (0 ， 0 ， 60)$ ，

则 $\vec{A D} = (12 ， - 5 ， 0)$ ， $\vec{A E} = (0 ， - 5 ， 60)$ ，

假设平面 $A D E$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

由 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 ， \\ \overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{n} = 0 ， \end{array}$

得 ${\begin{array}{l} (12 ， - 5 ， 0) \cdot (x ， y ， z) = 0 ， \\ (0 ， - 5 ， 60) \cdot (x ， y ， z) = 0. \end{array}$ 即 ${\begin{array}{l} 12 x - 5 y = 0 ， \\ - 5 y + 60 z = 0 ， \end{array}$

令 $z = 1$ ，解得 $\vec{n} = (5 ， 12 ， 1)$ .

而 $\overset{⇀}{A C} = (0 ， - 5 ， 0)$ ，设直线 $A C$ 和平面 $A D E$ 所成的角为 $α$ ，

则 $\sin α = \frac{| \vec{A C} \cdot \vec{n} |}{| \vec{A C} | | \vec{n} |}$ $= \frac{| (0 ， - 5 ， 0) \cdot (5 ， 12 ， 1) |}{5 \times \sqrt{5^{2} + 12^{2} + 1^{2}}} = \frac{6 \sqrt{170}}{85}$

即 $A C$ 和平面 $A D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{6 \sqrt{170}}{85}$ .

湖南省汨罗市2020届高三理数教学质量检测试卷（一)