解：在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，

∴AC＝4cm，

根据题意得：AP＝2t，

当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，

∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，

∴t＝ $\frac{1}{2}$ ，

当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，

①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，

如图2，过P作PE⊥BC于E，

∴BE＝ $\frac{1}{2}$ BC＝ $\frac{3}{2}$ ，

∴PB＝ $\frac{1}{2}$ AB，即2t﹣3﹣4＝ $\frac{3}{2}$ ，解得：t＝ $\frac{19}{4}$ ，

②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，

解得：t＝5，

③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，

∴BF＝ $\frac{1}{2}$ BP，

∵∠ACB＝90°，

由射影定理得；BC²＝BF•AB，

即3²＝ $\frac{2 t - 3 - 4}{2}$ ×5，

解得：t＝ $\frac{53}{10}$ ，

∴当 $t = \frac{1}{2} ， 5 ， \frac{53}{10} 或 \frac{19}{4}$ 时，△BCP为等腰三角形．

浙江省杭州市上城区建兰中学2020年数学中考模拟试卷