解：①∵△OCE∽△OBC ∴

\frac{O E}{O C} = \frac{O C}{O B}

即 $\frac{O E}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解得 $O E = 1$

∴ $A E = O A + O E = 1 + 1 = 2$

即 $x = 2$ 时，△OCE∽△OBC

②存在，理由如下：

抛物线的对称轴为 $x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}{2 \times (- \frac{\sqrt{3}}{3})} = 1$

∴点E为抛物线的对称轴与x轴的交点

∵ $O A = O E$ ， $O C ⊥ x$ 轴， $∠ B A C = 60 °$

∴△ACE是等边三角形

∴ $∠ A E C = 60 °$

∵ $∠ D E F = 60 °$

∴ $∠ F E B = 60 °$

∴ $∠ B A C = ∠ F E B$

∴ $E F // A C$

由 $A (- 1 ， 0) ， C (0 ， \sqrt{3})$ 可得直线AC的解析式为 $y = \sqrt{3} x + \sqrt{3}$

∵点E $(1 ， 0)$

∴直线EF的解析式为 $y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

联立 ${\begin{array}{l} y = \sqrt{3} x - \sqrt{3} \\ y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3} \end{array}$

解得 ${\begin{array}{l} x_{1} = 2 \\ y_{1} = \sqrt{3} \end{array}$ ， ${\begin{array}{l} x_{2} = - 3 \\ y_{2} = - 4 \sqrt{3} \end{array}$

∴点M的坐标为 $(2 ， \sqrt{3})$ 或 $(- 3 ， - 4 \sqrt{3})$ （舍去）

$E M = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(\sqrt{3} - 0)}^{2}} = 2$

分三种情况讨论△PEM是等腰三角形

( 1）当 $P E = E M$ 时， $P E = 2$

∴点P的坐标为 $(1 ， 2)$ 或 $(1 ， - 2)$

( 2）当 $P E = P M$ 时，

∵ $∠ F E B = 60 °$

∴ $∠ P E F = 90 ° - 60 ° = 30 °$

$P E = \frac{1}{2} E M \div \cos 30 °$

$= \frac{1}{2} \times 2 \div \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

∴点P的坐标为 $(1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

( 3）当 $P M = E M$ 时， $P E = 2 E M \cdot \cos 30 ° = 2 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$

∴点P的坐标为 $(1 ， 2 \sqrt{3})$

综上所述，抛物线对称轴上存在点P $(1 ， 2)$ 或 $(1 ， - 2)$ 或 $(1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 或 $(1 ， 2 \sqrt{3})$ ，使△PEM是等腰三角形．

浙江省绍兴市上虞实验中学2020年数学中考模拟试卷（3月）