解：如图所示，以点

A

为坐标原点，建立空间直角坐标系

A - x y z

，

则 $A (0 ， 0 ， 0) ， P (0 ， 0 ， 2) ， B (1 ， 0 ， 0) ， C (1 ， 2 ， 0) ， D (0 ， 2 ， 0) ， M (0 ， 1 ， 1)$ .

$∴ \vec{A C} = (1 ， 2 ， 0) ， \vec{A M} = (0 ， 1 ， 0) . \vec{C D} = (- 1 ， 0 ， 0)$ .

设平面 $A C M$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

由 $\vec{n} ⊥ \vec{A C} ， \vec{n} ⊥ \vec{A M}$ 可得 ${\begin{matrix} x + 2 y = 0 \\ y + z = 0 \end{matrix}$ ；

令 $z = 1$ ，得 $x = 2 ， y = - 1. ∴ \vec{n} = (2 ， - 1 ， 1)$ .

设直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成的角为 $α$ ，

则 $\sin α = | \cos < \vec{C D} ， \vec{n} > | = \frac{| \vec{C D} \cdot \vec{n} |}{| \vec{C D} | | \vec{n} |} = \frac{| - 2 |}{1 \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$∴$ 直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

陕西省榆林市2020届高三理数模拟第一次测试试卷