解：假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．

当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x²+y²=1，…③

当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为： $x^{2} + {(y + \frac{1}{3})}^{2} = \frac{16}{9}$ ，…④

由③，④知定点M（0，1）．

下证：以AB为直径的圆恒过定点M（0，1）．

设直线l：y=kx﹣ $\frac{1}{3}$ ，代入 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2}$ =1，有（2k²+1）x²﹣ $\frac{4}{3} k x - \frac{16}{9}$ =0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 $x_{1} + x_{2} = \frac{4 k}{3 (2 k^{2} + 1)}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{- 16}{9 (2 k^{2} + 1)}$ ．

则 $\vec{M A} = (x_{1} ， y_{1} - 1) ， \vec{M B} = (x_{2} ， y_{2} - 1)$ ，

$\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ =x₁x₂+（y₁﹣1）（y₂﹣1）= $x_{1} x_{2} + (k x_{1} - \frac{4}{3}) (k x_{2} - \frac{4}{3})$

=（1+k²）x₁x₂﹣ $\frac{4}{3} k (x_{1} + x_{2})$ + $\frac{16}{9}$

=（1+k²）• $\frac{- 16}{9 (2 k^{2} + 1)}$ ﹣ $\frac{4}{3} k \cdot \frac{4 k}{3 (2 k^{2} + 1)}$ + $\frac{16}{9}$ =0，

∴在y轴上存在定点M（0，1），使以AB为直径的圆恒过M（0，1）这个定点

江西省新余市2016-2017学年高二下学期数学期末考试试卷（文科）