解：作

O H ⊥ A B

于H，

则 $A B = 2 A H = 2 O A \cdot \cos α = 40 \cos α$

在 $Δ O A P$ 中， $O P^{2} = O A^{2} + A P^{2} - 2 O A \cdot A P \cos (\frac{2 π}{3} + α)$

$= 400 (6 \cos^{2} α + 2 \sqrt{3} \sin α \cos α + 1)$

$= 400 (3 \cos 2 α + \sqrt{3} \sin 2 α + 4)$

$= 800 \sqrt{3} \sin (2 α + \frac{π}{3}) + 1600$

因为 $α \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，所以当 $α = \frac{π}{12}$ 时，

$O P_{\max} = \sqrt{800 \sqrt{3} + 1600} < 60$

所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求.

上海市奉贤金山青浦松江四校2018-2019学年高一5月月考数学试题