解：∵当

x = 0

时，

y = \sqrt{3}

，

∴ $C (0 ， \sqrt{3})$ ，

∴ $tan ∠ A B C = \frac{O C}{O B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

∴ $∠ A B C = 30 °$

∵ $P N ⊥ x$ 轴，

∴ $∠ P F E = ∠ B F N = 60 °$ ，

又∵ $P E ⊥ B C$ ，

∴ $sin ∠ P F E = \frac{P E}{P F}$ ，

∴ $P E = \frac{\sqrt{3}}{2} P F$ ，

设 $P (x ， - \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3})$ ，直线 $B C$ 的解析式为 $y = m x + n$ ，

${\begin{matrix} n = \sqrt{3} \\ \sqrt{3} m + n = 0 \end{matrix}$ ，

∴ $m = - \frac{\sqrt{3}}{3} ， y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ ，

∴ $F (x ， - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3})$

∴ $P E = \frac{\sqrt{3}}{2} [(- \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}) - (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3})] = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x$

又 $P E = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x = - \frac{1}{2} {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8}$ ，

∴当x= $\frac{3}{2}$ 时，PE取得最大值， $P E$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ ，此时点P的坐标为 $(\frac{3}{2} ， \frac{5 \sqrt{3}}{4})$ .

辽宁省昌图县部分校2019届九年级数学4月联考试卷