解：

∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG， ∴△PKO∽△OBG， ∵S_△_PKO=

\frac{1}{4}

S_△_OBG，

∴ $\frac{S_{Δ}_{P K O}}{S_{△ O B G}} = {(\frac{O P}{O G})}^{2} = \frac{1}{4}$

∴OP=1，

∴S_△_POG= $\frac{1}{2}$ OG•OP= $\frac{1}{2}$ ×1×2=1，

设OB=a，BG=b，则a²+b²=OG²=4，

∴b= $\sqrt{4 - a^{2}}$

∴ $S_{Δ O B G} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} a \sqrt{4 - a^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{- a^{4} + 4 a^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{- {(a^{2} - 2)}^{2} + 4}$

∴当a²=2时，△OBG有最大值1，此时S_△_PKO= $\frac{1}{4}$ S_△_OBG= $\frac{1}{4}$ ，

∴四边形PKBG的最大面积为1+1+ $\frac{1}{4}$ = $\frac{9}{4}$ ．

∴当BO为 $\sqrt{2}$ 时，四边形PKBG的面积最大，最大面积为 $\frac{9}{4}$ ．

江苏省连云港市灌南县、海州区、连云区2019届九年级数学中考二模试卷