解：∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2 $\text{[math]}$ ，4）

∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b

∴ $\text{[math]}$

解得： $\text{[math]}$

∴解析式为：y= $\text{[math]}$ x+2

设存在点N使得OAMN是菱形，

∵点M在直线AP上，

∴设点M的坐标为：（m， $\text{[math]}$ m+2）

如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ﹣OA= $\text{[math]}$ m+2﹣2= $\text{[math]}$ m

∵四边形OAMN为菱形，

∴AM=AO=2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ²+MQ²=AM² ，

即：m²+（ $\text{[math]}$ m）²=2²

解得：m=± $\text{[math]}$

代入直线AP的解析式求得y=3或1，

当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：

当N在右图1位置时，

∵OA=MN，

∴MN=2，

又∵M点坐标为（ $\text{[math]}$ ，3），

∴N点坐标为（ $\text{[math]}$ ，1），即N₁坐标为（ $\text{[math]}$ ，1）．

当N在右图2位置时，

∵MN=OA=2，M点坐标为（﹣ $\text{[math]}$ ，1），

∴N点坐标为（﹣ $\text{[math]}$ ，﹣1），即N₂坐标为（﹣ $\text{[math]}$ ，﹣1）．

当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：

第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（﹣ $\text{[math]}$ ，1）；

第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（ $\text{[math]}$ ，﹣1）

∴存在N₁（ $\text{[math]}$ ，1），N₂（﹣ $\text{[math]}$ ，﹣1）N₃（﹣ $\text{[math]}$ ，1），N₄（ $\text{[math]}$ ，﹣1）使得四边形OAMN是菱形

广西玉林市2020届九年级数学中考一模试卷