①证明：过点A₁作A₁E⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图2，

∵CD∥AB，CD=AB，

∴四边形ACDB是平行四边形．

∴S_△_ABC=S_△_DBC ．

∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，

∴S_△_ABC=S_△_A1BC ．

∴S_△_DBC=S_△_A1BC ．

∴ $\text{[math]}$ BC•DF= $\text{[math]}$ BC•A₁E．

∴DF=A₁E．

∵A₁E⊥BC，DF⊥BC，

∴∠A₁EB=∠DFB=90°．

∴A₁E∥DF．

∴四边形A₁DFE是平行四边形．

∴A₁D∥EF．

∴A₁D∥BC．

②解：如图3①，

过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH＜BH．

∵四边形A₁DBC是矩形，

∴∠A₁CB=90°．

∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，

∴∠ACB=∠A₁CB．

∴∠ACB=90°．

∵CH⊥AB，

∴∠AHC=∠CHB=90°．

∴∠ACH=90°﹣∠HCB=∠CBH．

∴△AHC∽△CHB．

∴ $\text{[math]}$ ．

∴CH²=AH•BH．

∵AB=10，CH=4，

∴16=AH•（10﹣AH）．

解得：AH=2或AH=8．

∵AH＜BH，

∴AH=2．

∴AC²=CH²+AH²=16+4=20．

∴AC=2 $\text{[math]}$ ．

Ⅱ．如图3②，

过点C作CH⊥AB，垂足为H，此时AH＞BH．

同理可得：AH=8．

∴AC²=CH²+AH²=16+64=80．

∴AC=4 $\text{[math]}$ ．

Ⅲ．如图3③，

∵四边形A₁DCB是矩形，

∴∠A₁BC=90°．

∵△ABC沿BC折叠得△A₁BC，

∴∠ABC=∠A₁BC．

∴∠ABC=90°．

∴AC²=BC²+AB²=16+100=116．

∴AC=2 $\text{[math]}$ ．

综上所述；当以A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形时，AC的长为2 $\text{[math]}$ 或4 $\text{[math]}$ 或2 $\text{[math]}$ ．

江苏省徐州市第26中学2016-2017学年八年级下学期期末模拟数学试卷