解：过

N

作

N F ⊥ B C

于

F

∵平面 $A B C D ⊥$ 平面 $E B C$ ，

平面 $A B C D \cap$ 平面 $E B C$ $= B C$ ，

又 $N F \subset$ 平面 $E B C$

∴ $N F ⊥$ 平面 $A B C D$

在 $Δ C N F$ 中，

∵ $∠ E B C = \frac{2}{3} π$ 且 $B E = B C$

∴ $∠ E C B = \frac{π}{6}$

$N F = \frac{1}{2} C N = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{Δ A M D} = \frac{1}{2} A M \cdot A D = \frac{1}{2}$ …

$V_{A - M N D} = V_{D - A M N} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12}$

解法二：∵平面 $A B C D ⊥$ 平面 $E B C$ ，

平面 $A B C D \cap$ 平面 $E B C$ $= B C$ ，

∴ $A B ⊥$ 平面 $E B C$

∴ $A B ⊥ C N$

∵ $B E = B C$ 且 $N$ 为 $C E$ 的中点

∴ $C N ⊥ B N$

∵ $C N ⊥ B N$ ， $C N ⊥ A B$ ， $A B \cap B N = B$

则 $C N ⊥$ 平面 $A B N$

即 $C N ⊥$ 平面 $A M N$

∵ $C D / /$ 平面 $A M N$ ，

$Δ C N F$ 中，

∵ $∠ E B C = \frac{2}{3} π$ 且 $B E = B C = 2$

∴ $d = | C N | = \sqrt{3}$

$S_{Δ A M N} = \frac{1}{2} A M \cdot B N = \frac{1}{4}$

∴ $V_{A - M N D} = V_{D - A M N} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{12}$

福建省宁德市2019-2020学年高三文数第一次质量检查试卷