解：在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.

①如图2，由（2），可得点M的横坐标是2.

∵点M在直线y=﹣ $\frac{3}{4}$ x+3上，∴点M的坐标是（2， $\frac{3}{2}$ ）.

又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM= $\sqrt{{[2 - （ - 2 ）]}^{2} + （ \frac{3}{2} - 0 ）^{2}}$ = $\frac{\sqrt{73}}{2}$ ，∴AM所在的直线的斜率是： $\frac{\frac{3}{2} - 0}{2 - （ - 2 ）} = \frac{3}{8}$ ；

∵y=﹣ $\frac{3}{8}$ x²+ $\frac{3}{4}$ x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ $\frac{3}{8}$ x²+ $\frac{3}{4}$ x+3），则 ${\begin{matrix} \frac{- \frac{3}{8} x^{2} + \frac{3}{4} x + 3 - m}{x - 1} = \frac{3}{8} \\ （ x - 1 ）^{2} + （ - \frac{3}{8} x^{2} + \frac{3}{4} x + 3 - m ）^{2} = \frac{73}{4} \end{matrix}$

解得： ${\begin{matrix} x = - 3 \\ y = - \frac{21}{8} \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = - \frac{21}{8} \end{matrix}$ .

∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣ $\frac{21}{8}$ ）.

②如图3，由（2），可得点M的横坐标是2.

∵点M在直线y=﹣ $\frac{3}{4}$ x+3上，∴点M的坐标是（2， $\frac{3}{2}$ ）.

又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM= $\sqrt{{[2 - （ - 2 ）]}^{2} + （ \frac{3}{2} - 0 ）^{2}}$ = $\frac{\sqrt{73}}{2}$ ，∴AM所在的直线的斜率是： $\frac{\frac{3}{2} - 0}{2 - （ - 2 ）} = \frac{3}{8}$ ；

∵y=﹣ $\frac{3}{8}$ x²+ $\frac{3}{4}$ x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ $\frac{3}{8}$ x²+ $\frac{3}{4}$ x+3），则 ${\begin{matrix} \frac{- \frac{3}{8} x^{2} + \frac{3}{4} x + 3 - m}{x - 1} = \frac{3}{8} \\ （ x - 1 ）^{2} + （ - \frac{3}{8} x^{2} + \frac{3}{4} x + 3 - m ）^{2} = \frac{73}{4} \end{matrix}$

解得： ${\begin{matrix} x = - 3 \\ y = - \frac{21}{8} \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} x = 5 \\ y = - \frac{21}{8} \end{matrix}$ .

∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣ $\frac{21}{8}$ ）.

③如图4，由（2），可得点M的横坐标是2.

∵点M在直线y=﹣ $\frac{3}{4}$ x+3上，∴点M的坐标是（2， $\frac{3}{2}$ ）.

又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM= $\sqrt{{[2 - （ - 2 ）]}^{2} + （ \frac{3}{2} - 0 ）^{2}}$ = $\frac{\sqrt{73}}{2}$ .

∵y=﹣ $\frac{3}{8}$ x²+ $\frac{3}{4}$ x+3的对称轴是x=1，∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ $\frac{3}{8}$ x²+ $\frac{3}{4}$ x+3），则 ${\begin{matrix} \frac{- \frac{3}{8} x^{2} + \frac{3}{4} x + 3 - \frac{3}{2}}{x - 2} = \frac{m - 0}{1 - （ - 2 ）} \\ \frac{x + 1}{2} = \frac{2 - 2}{2} \end{matrix}$ ，解得： ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = \frac{15}{8} \end{matrix}$ ，∴点P的坐标是（﹣1， $\frac{15}{8}$ ）.

综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣ $\frac{21}{8}$ ）、（5，﹣ $\frac{21}{8}$ ）、（﹣1， $\frac{15}{8}$ ）

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