解：存在．

如图2， $OB = 4$ ， $OA = 2$ ，则 $AB = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ，

当 $x = 1$ 时， $y = - 2 x + 4 = 2$ ，则 $P (1 ， 2)$ ，

$∴ PB = \sqrt{1^{2} + {(2 - 4)}^{2}} = \sqrt{5}$ ，

设抛物线的解析式为 $y = {ax}^{2} + bx + 4$ ，

把 $A (2 ， 0)$ 代入得 $4 a + 2 b + 4 = 0$ ，解得 $b = - 2 a - 2$ ，

$∴$ 抛物线的解析式为 $y = {ax}^{2} - 2 (a + 1) x + 4$ ，

当 $x = 1$ 时， $y = {ax}^{2} - 2 (a + 1) x + 4 = a - 2 a - 2 + 4 = 2 - a$ ，则 $D (1 ， 2 - a)$ ，

$∴ PD = 2 - a - 2 = - a$ ，

$∵ DC / / OB$ ，

$∴ ∠ DPB = ∠ OBA$ ，

$∴$ 当 $\frac{PD}{BO} = \frac{PB}{BA}$ 时， $ΔPDB ∽ ΔBOA$ ，即 $\frac{- a}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$ ，解得 $a = - 2$ ，此时抛物线解析式为 $y = - 2 x^{2} + 2 x + 4$ ；

当 $\frac{PD}{BA} = \frac{PB}{BO}$ 时， $ΔPDB ∽ ΔBAO$ ，即 $\frac{- a}{2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$ ，解得 $a = - \frac{5}{2}$ . ，此时抛物线解析式为 $y = - \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + 4$ ；

综上所述，满足条件的抛物线的解析式为 $y = - 2 x^{2} + 2 x + 4$ 或 $y = - \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + 4$ ．

贵州省遵义市汇川区2019届九年级第二次中考适应性考试数学试卷