联立 ${\begin{matrix} y = k x + m \\ 3 x^{2} + 4 y^{2} = 12 \end{matrix}$ ，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²﹣12=0，

△=64k²m²﹣4（3+4k²）（4m²﹣12）=48（3+4k²﹣m²）=0，

可得：m²=3+4k²．A₁（﹣2，0）到l的距离d₁= $\frac{| - 2 k + m |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ ，

A₂（2，0）到l的距离d₂= $\frac{| 2 k + m |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ ，

则|MN|²= $| A_{1} A_{2} |^{2}$ ﹣ $| d_{1} - d_{2} |^{2}$ =16﹣[ $\frac{{(2 k - m)}^{2}}{1 + k^{2}}$ + $\frac{{(2 k + m)}^{2}}{1 + k^{2}}$ ﹣ $\frac{2 | 4 k^{2} - m^{2} |}{1 + k^{2}}$ ]

=16﹣ $(\frac{2 m^{2} + 8 k^{2}}{1 + k^{2}} - \frac{6}{1 + k^{2}})$ =16﹣ $(\frac{6 + 16 k^{2}}{1 + k^{2}} - \frac{6}{1 + k^{2}})$ =16﹣ $\frac{16 k^{2}}{1 + k^{2}}$ = $\frac{16}{1 + k^{2}}$ ．

$d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$ = $\frac{{(2 k - m)}^{2}}{1 + k^{2}}$ + $\frac{{(2 k + m)}^{2}}{1 + k^{2}}$ + $\frac{2 | 4 k^{2} - m^{2} |}{1 + k^{2}}$ = $\frac{6 + 16 k^{2}}{1 + k^{2}} + \frac{6}{1 + k^{2}}$ = $\frac{12 + 16 k^{2}}{1 + k^{2}}$ ．

∴四边形A₁MNA₂的面积S= $\frac{(d_{1} + d_{2}) | M N |}{2}$ = $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{12 + 16 k^{2}}{1 + k^{2}} \cdot \frac{16}{1 + k^{2}}}$ =4 $\sqrt{\frac{3 + 4 k^{2}}{{(1 + k^{2})}^{2}}}$ =4 $\sqrt{4 - {(\frac{1}{1 + k^{2}} - 2)}^{2}}$ ≤4 $\sqrt{3}$ ．

当k=0时，取等号．

2017年山东省、湖北省部分重点中学高考数学冲刺模拟试卷（理科）（四）