解：∵M为CD的中点，DM=1，∴CD=2，

所以四边形ABCD为菱形．

分别以AB，AM，AA₁为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则点 $A_{1} (0 ， 0 ， 2) ， B (2 ， 0 ， 0) ， D (- 1 ， \sqrt{3} ， 0) ， D_{1} (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， 2)$ ．

∴ $\vec{D D_{1}} = (\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2} ， 2) ， \vec{B D} = (- 3 ， \sqrt{3} ， 0) ， \vec{A_{1} B} = (2 ， 0 ， - 2)$ ．

设平面A₁BD的一个法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，则有 ${\begin{matrix} \vec{n} \cdot \vec{B D} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{A_{1} B} = 0 \end{matrix}$ ，

∴ ${\begin{matrix} - 3 x + \sqrt{3} y = 0 \\ 2 x - 2 z = 0 \end{matrix}$ ，令x=1，则 $\vec{n} = (1 ， \sqrt{3} ， 1)$ ，

设 $\vec{D N} = λ \vec{D D_{1}} = (\frac{λ}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2} λ ， 2 λ) (λ \in [0 ， 1])$ ，∴ $\vec{M N} = \vec{M D} + \vec{D N} = (\frac{λ}{2} - 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{2} λ ， 2 λ)$ ，

∴ $\frac{1}{\sqrt{35}} = | c o s 〈 \vec{n} ， \vec{M N} > | = | \frac{\frac{λ}{2} - 1 - \frac{3}{2} λ + 2 λ}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{{(\frac{λ}{2} - 1)}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2} λ)}^{2} + {(2 λ)}^{2}}} |$ ，

∴ $\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{| λ - 1 |}{\sqrt{5 λ^{2} - λ + 1}}$ ，∴2λ²﹣13λ+6=0，

∴ $λ = \frac{1}{2}$ 或λ=6（舍去）．

∴ $D N = \frac{1}{2} D D_{1} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ．

2017年福建省宁德市高考数学三模试卷（理科）