解：方法一：如图，连接OC，

∵BC=CD，

∴∠DAC=∠CAB，

又∵AO=CO，

∴∠CAB=∠ACO，

∴∠DAC=∠ACO，

∴AD∥OC，

∴ $\frac{P C}{P D}$ = $\frac{P O}{P A}$ ，

∵PB=OB，CD= $2 \sqrt{2}$ ，

∴ $\frac{P C}{P C + 2 \sqrt{2}}$ = $\frac{2}{3}$

∴PC=4 $\sqrt{2}$

又∵PC•PD=PB•PA

∴4 $\sqrt{2}$ •（4 $\sqrt{2}$ +2 $\sqrt{2}$ ）=OB•3OB

∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，

在Rt△ACB中，

AC= $\sqrt{A B^{2} - B C^{2}}$ = $\sqrt{8^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$ =2 $\sqrt{14}$ ，

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°

∴∠FDA+∠BDC=90°

∠CBA+∠CAB=90°

∵∠BDC=∠CAB，

∴∠FDA=∠CBA，

又∵∠AFD=∠ACB=90°，

∴△AFD∽△ACB

∴ $\frac{A F}{F D} = \frac{A C}{C B} = \frac{2 \sqrt{14}}{2 \sqrt{2}} = \sqrt{7}$

在Rt△AFP中，设FD=x，则AF= $\sqrt{7} x$ ，

∴在Rt△APF中有， ${(\sqrt{7} x)}^{2} + {(x + 6 \sqrt{2})}^{2} = 12^{2}$ ，

求得DF= $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．

方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，

易证△PCO∽△PDA，可得 $\frac{P C}{P D}$ = $\frac{P O}{P A}$ ，

△PGO∽△PFA，可得 $\frac{P G}{P F}$ = $\frac{P O}{P A}$ ，

可得， $\frac{P C}{P D}$ = $\frac{P G}{P F}$ ，由方法一中PC=4 $\sqrt{2}$ 代入 $\frac{P C}{P C + 2 \sqrt{2}} = \frac{P C + \sqrt{2}}{P C + 2 \sqrt{2} + D F}$ ，

即可得出DF= $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

2017年湖南省永州市祁阳县中考数学五模试卷