解：当过点P的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），

联立得 ${\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 \\ y = k x + 1 \end{matrix}$ ，化简（3+4k²）x²+8kx﹣8=0，

所以 ${\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{8 k}{4 k^{2} + 3} \\ x_{1} x_{2} = - \frac{8}{4 k^{2} + 3} \\ △ \geq 0 \end{matrix}$ ，

所以 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + λ \vec{P A} \cdot \vec{P B} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + λ | x_{1} x_{2} + (y_{1} - 1) (y_{2} - 1) |$ =（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，

= $- \frac{8 (1 + λ) (1 + k^{2})}{4 k^{2} + 3} - \frac{8 k^{2}}{4 k^{2} + 3} + 1$ ，

= $\frac{- 2 λ + 4 - 4 (4 k^{2} + 3) - 2 λ (4 k^{2} + 3)}{4 k^{2} + 3} + 1$ ，

= $\frac{- 2 λ + 4}{4 k^{2} + 3} - 2 λ - 3$ ，

∴当λ=2时， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + λ \vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 7$

当过点P的直线AB的斜率不存在时，直线即与y轴重合，此时 $A (0 ， \sqrt{3}) ， B (0 ， - \sqrt{3})$ ，所以 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + λ \vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 3 + λ [(\sqrt{3} - 1) (- \sqrt{3} - 1)] = - 3 - 2 λ$ ，

所以当λ=2时， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + λ \vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 7$ ，

综上所述，当λ=2时， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + λ \vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 7$

2017年山西省吕梁市孝义市高考数学热身试卷（理科）