解：方法一：

如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，

∴S_△PMN= $\text{[math]}$ MN×PF= $\text{[math]}$ ×4t×t=2t² ，

∵∠CAN=∠ANC，

∴CN=AC，

∴S_△ACN= $\text{[math]}$ AC² ，

∵S_△ACN=S_△PMN ，

∴ $\text{[math]}$ AC²=2t² ，

∴AC=2t，

∴CN=2t，

∴MC=MN+CN=6t，

∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，

∴M（4﹣2t，6t），

由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x²+4x，

将M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x²+4x得：

﹣（4﹣2t）²+4（4﹣2t）=6t，

解得：t₁=0（舍），t₂= $\text{[math]}$ ，

∴PF=NF= $\text{[math]}$ ，AC=CN=1，OC=3，MF= $\text{[math]}$ ，PN= $\text{[math]}$ ，PM= $\text{[math]}$ ，AN= $\text{[math]}$ ，

∵AB=3 $\text{[math]}$ ，

∴BN=2 $\text{[math]}$ ，

作NH⊥RQ于点H，

∵QR//MN，

∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，

∴∠MNH=∠NCO，

∴NH//OC，

∴∠HNR=∠NOC，

∴tan∠HNR=tan∠NOC，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

设RH=n，则HN=3n，

∴RN= $\text{[math]}$ n，QN=3 $\text{[math]}$ n，

∴PQ=QN﹣PN=3 $\text{[math]}$ n﹣ $\text{[math]}$ ，

∵ON= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

OB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，

∵PM//OB，

∴∠OBN=∠MPB，

∴∠MPB=∠BNO，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△PMQ∽△NBR，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

解得：n= $\text{[math]}$ ，

∴R的横坐标为：3﹣ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，R的纵坐标为：1﹣ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴R（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

方法二：设M（t，﹣t²+4t），N（t，﹣t+4），

∴MN=﹣t²+4t+t﹣4=﹣t²+5t﹣4，

∴PF= $\text{[math]}$ （﹣t²+5t﹣4），

∴S△PMN= $\text{[math]}$ （﹣t²+5t﹣4）2= $\text{[math]}$ （t﹣4）²（t﹣1）² ，

∵K_AB=﹣1，∴∠OAB=45°，

∴CA=CN=4﹣t，

∴S_△ACN= $\text{[math]}$ （t﹣4）2，

∵S_△ACN=S_△PMN ，

∴ $\text{[math]}$ （t﹣4）²（t﹣1）²= $\text{[math]}$ （t﹣4）² ，

∴t₁=﹣1，（舍），t₂=3，

∴M（3，3），

∵M_X=N_X=3，

∴N（3，1），

∴ON= $\text{[math]}$ ，

∵B（1，3），

∴OB= $\text{[math]}$ ，

∴OB=ON，∠OBN=∠ONB，

∵OB//MP

∴∠OBN=∠QPM，

∴∠ONB=∠QPM，∠RQA=45°，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△BRN∽△MQP，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵K_PM=3，M（3，3），

∴l_PM：y=3x﹣6，

∵l_AB：y=﹣x+4，

∴P（2.5，1.5），

设R（3t，t），

∴Q（3t，﹣3t+4），

∴ $\text{[math]}$ ，

∴t₁= $\text{[math]}$ ，t₂= $\text{[math]}$ （舍），

∴R（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

2017年四川省绵阳市游仙区中考数学模拟试卷