【解答】解：方法一：由上述可知，曲线 $C_{1} ： ρ = 2 \sin θ$ 即圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ，如图所示，

过 $P (- 1 ， 1)$ ，被曲线 $C_{1}$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ 的直线有两条：

一条过原点 O ，倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，直线的直角坐标方程为 $y = - x$ ，极坐标方程为 $θ = \frac{3 π}{4} (ρ \in R)$ ；

另一条过点 $A (0 ， 2)$ ，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，直线的直角坐标方程为 $y = x + 2$ ，极坐标方程为 $p (\sin θ - \cos θ) = 2$ ，即 $p \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ 、

方法二：由上述可知，曲线 $C_{1} ： ρ = 2 \sin θ$ 即圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ，过点 $P (\sqrt{2} ， \frac{3 π}{4})$ ，被曲线 $C_{1}$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ 的直线有两条：一条过原点 O ，倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，极坐标方程为 $θ = \frac{3 π}{4} (ρ \in R)$ ；另一条倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，极坐标方程为 $p \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

人教新课标A版选修4-4数学1.3曲线的极坐标系同步检测