解：①过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形PQCM为平行四边形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，

∴PB=CM，

∴PB=PQ，

∴BE= $\frac{1}{2}$ BQ= $\frac{1}{2}$ （6﹣t）cm，

∵a= $\frac{5}{2}$ ，

∴PB= $\frac{5}{2}$ tcm，

∵AD⊥BC，

∴PE∥AD，

∴PB：AB=BE：BD，

即 $\frac{\frac{5}{2} t}{10} = \frac{\frac{1}{2} (6 - t)}{6}$ ，

解得：t= $\frac{3}{2}$ ，

∴PQ=PB= $\frac{5}{2}$ t= $\frac{15}{4}$ （cm）；

②不存在．理由如下：

∵四边形PQCM为平行四边形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，

∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．

若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，

∵PM∥CQ，

∴∠PCQ=∠CPM，

∴∠CPM=∠PCM，

∴PM=CM，

∴四边形PQCM是菱形，

∴PQ=CQ，PM∥CQ，

∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，

∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），

∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB﹣PB=10﹣at（cm），

${\begin{matrix} a t = 6 + t ① \\ \frac{6 + t}{12} = \frac{10 - a t}{10} ② \end{matrix}$ ，

化简得②：6at+5t=30③，

把①代入③得，t=﹣ $\frac{6}{11}$ ，

∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上

2017年湖南省衡阳市衡阳县洪市中学、夏明翰中学等四校中考数学一模试卷