解：存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，

理由是：

分以下两种情况：

①当∠BQM=90°时，如图：

∵∠CMQ＞90°，

∴只能CM=MQ．

设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），

把B（2，0）、C（0，4）代入得： $\text{[math]}$ ，

解得： $\text{[math]}$ ，

∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，

设M（m，﹣2m+4），

则MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m，

在Rt△OBC中，BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，

∵MQ∥OC，

∴△BMQ∽△BCO，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，

∴BM= $\text{[math]}$ （2﹣m）=2 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ m，

∴CM=BC﹣BM=2 $\text{[math]}$ ﹣（2 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ m）= $\text{[math]}$ m，

∵CM=MQ，

∴﹣2m+4= $\text{[math]}$ m，m= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ﹣8．

∴Q（4 $\text{[math]}$ ﹣8，0）．

②当∠QMB=90°时，如图3，

同理可设M（m，﹣2m+4），

过A作AE⊥BC，垂足为E，

∴∠EAB=∠OCB，

∴sin∠EAB= $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴BE= $\text{[math]}$ ，

过E作EF⊥x轴于F，

sin∠CBO= $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴EF= $\text{[math]}$ ，

由勾股定理得：BF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴OF=2﹣ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∴E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），

由A（﹣1，0）和E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）可得：

则AE的解析式为：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，

则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），

设Q（﹣x，0）（x＞0），

∵AE∥QM，

∴△ABE∽△QBM，

∴ $\text{[math]}$ ①，

由勾股定理得：x²+4²=2×[m²+（﹣2m+4﹣4）²]②，

由以上两式得：m₁=4（舍），m₂= $\text{[math]}$ ，

当m= $\text{[math]}$ 时，x= $\text{[math]}$ ，

∴Q（﹣ $\text{[math]}$ ，0）．

综上所述，Q点坐标为（4 $\text{[math]}$ ﹣8，0）或（﹣ $\text{[math]}$ ，0）．

2017年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷