解：由题意可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，∠ABC=60°．又Q（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）．

①如图2

，

由题意知OA=3，OB=1，

P在x轴上时，过Q作P₁Q⊥BQ交x轴于P₁点，

∵P₁Q∥AC，

∴₁BQ∽△ABC，

$\frac{P_{1} B}{A B}$ = $\frac{B Q}{B C}$ = $\frac{1}{2}$ ，

解得P₁B=2，OP₁=1，P₁（﹣1，0）；

过Q作P₂Q⊥x轴于P₂，

∵∠P₂BQ=∠CBA，∠QPB=∠ACB，

∴QBP₂∽△ABC，

$\frac{B P_{2}}{B C}$ = $\frac{P_{2} Q}{A C}$ ，

解得BP₂= $\frac{1}{2}$ ，OP₂= $\frac{1}{2}$ ，

P₂（ $\frac{1}{2}$ ，0）；

P在x轴的其它位置时，△PBQ不可能为直角三角形，不可能与△ABC相似；

②同理，当P在y轴上时，作P₃Q⊥BQ交y轴于P₃，

∵∠P₃BQ=∠BAC=∠P₃BO=30°，∠P₃QB=∠ACB=90°，

∴△BP₃Q∽△ABC．

∵tan∠P₃BO= $\frac{P_{3} O}{O B}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，P₃O= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

P₃（0， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）．

B作P₄B⊥BQ交y于P₄，但 $\frac{B P_{4}}{B Q}$ ≠ $\frac{A C}{B C}$ ，

∴△QBP₄Y与△ABC不相似，P在y轴上其它位置时，△PQB不为直角三角形，不能与△ABC相似；

综上所述：坐标轴上存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似，P点坐标为（﹣1，0），（ $\frac{1}{2}$ ，0），（0， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）．

2017年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷