解：存在取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，

∵M的坐标为：（2，2），∴MC=

\sqrt{2^{2} + 1^{2}}

=

\sqrt{5}

，OM=2

\sqrt{2}

，∴∠MOA=45°，又∵∠BAD=45°，∴OM∥AB，∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M₁经过原点，则平移的长度为：2

\sqrt{2}

﹣

\sqrt{5}

或2

\sqrt{2}

+

\sqrt{5}

；∵∠BAD=45°，∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移

\frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}

=

\frac{4 - \sqrt{10}}{2}

个单位长度或

\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2}}

=

\frac{4 + \sqrt{10}}{2}

个单位长度，∵y=

\frac{1}{2}

x²﹣

\frac{5}{2}

x+3=

\frac{1}{2}

（x﹣

\frac{5}{2}

）²﹣

\frac{1}{8}

，∴平移后抛物线的关系式为：y=

\frac{1}{2}

（x﹣

\frac{5}{2}

+

\frac{4 - \sqrt{10}}{2}

）²﹣

\frac{1}{8}

﹣

\frac{4 - \sqrt{10}}{2}

，即y=

\frac{1}{2}

（x﹣

\frac{1 + \sqrt{10}}{2}

）²﹣

\frac{17 - 4 \sqrt{10}}{8}

，或y=

\frac{1}{2}

（x﹣

\frac{5}{2}

+

\frac{4 + \sqrt{10}}{2}

）²﹣

\frac{1}{8}

﹣

\frac{4 + \sqrt{10}}{2}

，即y=

\frac{1}{2}

（x﹣

\frac{1 - \sqrt{10}}{2}

）²﹣

\frac{17 + 4 \sqrt{10}}{8}

．综上所述，存在一个位置，使⊙M₁经过原点，此时抛物线的关系式为：

y= $\frac{1}{2}$ （x﹣ $\frac{1 + \sqrt{10}}{2}$ ）²﹣ $\frac{17 - 4 \sqrt{10}}{8}$ 或y= $\frac{1}{2}$ （x﹣ $\frac{1 - \sqrt{10}}{2}$ ）²﹣ $\frac{17 + 4 \sqrt{10}}{8}$ ．

2017年江苏省连云港市中考数学试卷