解：设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣ $\sqrt{3}$ m+3=0，解得：m= $\sqrt{3}$ ，

∴直线AC的解析式为y= $\sqrt{3}$ x+3．

设直线MN的解析式为y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣ $\frac{1}{k}$ ，

∴点N的坐标为（﹣ $\frac{1}{k}$ ，0）．

∴AN=﹣ $\frac{1}{k}$ + $\sqrt{3}$ = $\frac{\sqrt{3} k - 1}{k}$ ．

将y= $\sqrt{3}$ x+3与y=kx+1联立解得：x= $\frac{2}{k - \sqrt{3}}$ ．

∴点M的横坐标为 $\frac{2}{k - \sqrt{3}}$ ．

过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG= $\frac{2}{k - \sqrt{3}}$ + $\sqrt{3}$ ．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，

∴AM=2AG= $\frac{4}{k - \sqrt{3}}$ +2 $\sqrt{3}$ = $\frac{2 \sqrt{3} k - 2}{k - \sqrt{3}}$ ．

∴ $\frac{1}{A M}$ + $\frac{1}{A N}$ = $\frac{k - \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} k - 2}$ + $\frac{k}{\sqrt{3} k - 1}$ = $\frac{k - \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} k - 2}$ + $\frac{2 k}{2 \sqrt{3} k - 2}$ = $\frac{3 k - \sqrt{3}}{2 \sqrt{3 k - 2}}$ = $\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} k - 1)}{2 (\sqrt{3} k - 1)}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2017年广西南宁市、北海市、钦州市、防城港市中考数学试卷