解：①如图2所示：

∵E为BC的中点，

∴CF＝BE＝ $\frac{1}{2}$ BC＝2，

∴BF $= \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ，

由（1）得：AE⊥BF，

∴∠BGE＝∠ABE＝90°，

∵∠BEG＝∠AEB，

∴△BEG∽△AEB，

∴ $\frac{GE}{BG} = \frac{BE}{AB} = \frac{1}{2}$ ，

设GE＝x，则BG＝2x，

在Rt△BEG中，由勾股定理得：x²+（2x）²＝2²，

解得：x＝ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，

∴BG＝2× $\frac{2 \sqrt{5}}{5} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，

∵AB∥CD，

∴ $\frac{BH}{CF} = \frac{BG}{FG}$ ，即 $\frac{B H}{2} = \frac{\frac{4}{5} \sqrt{5}}{\frac{6}{5} \sqrt{5}}$ ，

解得：BH＝ $\frac{4}{3}$ ；

②由（1）得：∠AGB＝90°，

∴点G在以AB为直径的圆上，

设AB的中点为M，

由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：

∵AE⊥BF，

∴∠AGB＝90°，

∴GM＝ $\frac{1}{2}$ AB＝BM＝2，

∵AB∥CD，

∴ $\frac{C F}{C G} = \frac{B M}{G M}$ ＝1，

∴CF＝CG，

∵CF＝BE，

∴CF＝CG＝BE，

设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a+2，

在Rt△BCM中，由勾股定理得：2²+4²＝（a+2）²，

解得：a＝2 $\sqrt{5}$ ﹣2，即

当CG取得最小值时，BE的长为2 $\sqrt{5}$ ﹣2.

初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.1.2 平行线分线段成比例

初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.1.2 平行线分线段成比例