解：设P（m， $\frac{1}{2}$ m²﹣ $\frac{1}{2}$ m﹣3），则C（m， $\frac{1}{2}$ m+1），BM=4﹣m，

∴PC= $\frac{1}{2}$ m+1﹣（ $\frac{1}{2}$ m²﹣ $\frac{1}{2}$ m﹣3）=﹣ $\frac{1}{2}$ m²+m+4，

∵sin∠ACP= $\frac{P D}{P C}$ = $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，

∴PD=﹣ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ m²+ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ m+ $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ =﹣ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ （m﹣1）²+ $\frac{9 \sqrt{5}}{5}$ ，

当m=1时，线段PD长的最大值为 $\frac{9 \sqrt{5}}{5}$ ；

②作BM⊥PC，交PC的延长线于点M，作DN⊥PC于点N，如图，

∵sinP=sin∠BAE= $\frac{B E}{A B}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，

∴ $\frac{D N}{P D}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，

∴DN= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ （ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ m²+ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ m+ $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ）=﹣ $\frac{1}{5}$ m²+ $\frac{2}{5}$ m+ $\frac{8}{5}$ ，

∵DN∥BM，

∴ $\frac{D C}{C B}$ = $\frac{D N}{B M}$ ，

∵线段PC把△PDB分成两个三角形的面积之比为9：10，

∴当 $\frac{D C}{C B}$ = $\frac{D N}{B M}$ = $\frac{9}{10}$ ，即 $\frac{- \frac{1}{5} m^{2} + \frac{2}{5} m + \frac{8}{5}}{4 - m}$ = $\frac{9}{10}$ ，

整理得2m²﹣13m+20=0，解得m₁= $\frac{5}{2}$ ，m₂=4（舍去）；

当 $\frac{D C}{C B}$ = $\frac{D N}{B M}$ = $\frac{10}{9}$ ，即 $\frac{- \frac{1}{5} m^{2} + \frac{2}{5} m + \frac{8}{5}}{4 - m}$ = $\frac{10}{9}$ ，

整理得9m²﹣68m+128=0，解得m₁= $\frac{32}{9}$ ，m₂=4（舍去）；

综上所述，m的值为 $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{32}{9}$ ；

③存在．

如图2，连接PB交x轴于Q，

∵∠PDC=∠BDP，

∴当DPC=∠DBP时，△DPC∽△DBP，

而∠DPC=∠BAE，

∴∠BAE=∠ABP，

∴QA=QB，

设Q（t，0），则QA=QB=t+2，EQ=4﹣t，

在Rt△BQE中，（4﹣t）²+3²=t²，解得t= $\frac{7}{4}$ ，则Q（ $\frac{7}{4}$ ，0），

设直线BQ的解析式为y=px+q，

把B（4，3），Q（ $\frac{7}{4}$ ，0）代入得 ${\begin{matrix} 4 p + q = 3 \\ \frac{7}{4} p + q = 0 \end{matrix}$ ，解得 ${\begin{matrix} p = \frac{4}{3} \\ q = - \frac{7}{3} \end{matrix}$ ，

∴直线BQ的解析式为y= $\frac{4}{3}$ x﹣ $\frac{7}{3}$ ，

解方程组 ${\begin{matrix} y = \frac{4}{3} x - \frac{7}{3} \\ y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - 3 \end{matrix}$ 得 ${\begin{matrix} x = 4 \\ y = 3 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} x = - \frac{1}{3} \\ y = - \frac{25}{9} \end{matrix}$ ，

∴P（﹣ $\frac{1}{3}$ ，﹣ $\frac{25}{9}$ ），

∴m=﹣ $\frac{1}{3}$ ．

2017年浙江省宁波市慈溪市第七区域中考数学模拟试卷