解：①连结BC.

∵B(3，0)，C(0，3)，

∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，

∵OB＝3OD，OB＝OC＝3，

∴OD＝1，CD＝2，

过点P作PE∥y轴，交BC于点E(如图1).

设P(t，﹣t²+2t+3)，则E(t，﹣t+3).

∴PE＝﹣t²+2t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t²+3t.

S_四边形_CDBP＝S_△_BCD+S_△_BPC＝ $\frac{1}{2}$ CD•OB+ $\frac{1}{2}$ PE•OB，

即S＝ $\frac{1}{2}$ ×2×3+ $\frac{1}{2}$ (﹣t²+3t)×3＝﹣ $\frac{3}{2}$ (t﹣ $\frac{3}{2}$ )2+ $\frac{51}{8}$ ，

∵a＝﹣ $\frac{3}{2}$ ＜0，且0＜t＜3，

∴当t＝ $\frac{3}{2}$ 时，S的最大值为 $\frac{51}{8}$ ；

②以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，

则PQ∥CD，且PQ＝CD＝2.

∵点P在抛物线上，点Q在直线BC上，

∴点P(t，﹣t²+2t+3)，点Q(t，﹣t+3).

分两种情况讨论：

(Ⅰ)如图2，当点P在点Q上方时，

∴(﹣t²+2t+3)﹣(﹣t+3)＝2.即t²﹣3t+2＝0.解得t₁＝1，t₂＝2.

∴P₁(1，4)，P₂(2，3)，

(Ⅱ)如图3，当点P在点Q下方时，

∴(﹣t+3)﹣(﹣t²+2t+3)＝2.即t²﹣3t﹣2＝0.

解得t₃＝ $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ ，t₄＝ $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ ，

∴P₃( $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ ， $\frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}$ )，P₄( $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ ， $\frac{- 1 + \sqrt{17}}{2}$ )，

综上所述，所有符合条件的点P的坐标分别为：P(1，4)或(2，3)或( $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ ， $\frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}$ )或( $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ ， $\frac{- 1 + \sqrt{17}}{2}$ ).

海南省海口市2019年初中毕业生学业模拟考试数学试卷（一）