解：①解：如图，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q.

∵四边形ABCD是矩形，∠B=90°，

∴四边形BQOP是矩形.

∴∠POQ=90°，OP∥BC，OQ∥AB.

∴ $\frac{O P}{B C} = \frac{A O}{A C} ， \frac{O Q}{A B} = \frac{C O}{C A}$ .

∵O为AC中点，

∴OP= $\frac{1}{2}$ BC，OQ= $\frac{1}{2}$ AB.

∵∠MON=90°，

∴∠QON=∠POM.

∴Rt△QON∽Rt△POM.

∴ $\frac{O N}{O M} = \frac{O Q}{O P} = \frac{A B}{B C} = \sqrt{2}$ .

∴ $\tan ∠ O M N = \frac{O N}{O M} = \sqrt{2}$ .

②解：如图c，作M关于直线BC对称的点P，连接DP交BC于点N，连接MN.则△DMN的周长最小，

∵DC∥AP，

∴ $\frac{C N}{N B} = \frac{D C}{B P}$ ，

设AM=AD=a，则AB=CD= $\sqrt{2}$ a.

∴BP=BM=AB-AM=（ $\sqrt{2}$ -1）a.

∴ $\frac{C N}{N B} = \frac{C D}{B P} = \frac{\sqrt{2} a}{(\sqrt{2} - 1) a} = 2 + \sqrt{2}$ ，

③如备用图，

∵四边形ABCD为 $\sqrt{2}$ 矩形，AB=2 $\sqrt{2}$ ，

∴BC=AD=2，

∵BR⊥CM，

∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，

∴CI= $\frac{1}{2}$ BC=1，

∴DR最小= $\sqrt{\begin{array}{l} C D^{2} + C I^{2} \end{array}}$ -1=2

故答案为：2

浙江省湖州市第四中学教育集团2019届数学第三次适应性考试试卷