①设P（x，0），则E（x，﹣

\frac{2}{3}

x²﹣

\frac{4}{3}

x+2），则PB=1﹣x，PE=﹣

\frac{2}{3}

x²﹣

\frac{4}{3}

x+2．

∵PE=PB，

∴﹣ $\frac{2}{3}$ x²﹣ $\frac{4}{3}$ x+2=1﹣x．

∴x₁=1（舍去），x₂=﹣ $\frac{3}{2}$ ．

当x=﹣ $\frac{3}{2}$ ，函数值y= $\frac{5}{2}$ ．

∴E（﹣ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{5}{2}$ ）．

②存在点N（﹣ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{4}{3}$ ），理由如下：过点G作GH⊥x轴，垂足为H，连结DH．

把y=2代入抛物线的解析式得：2=﹣ $\frac{2}{3}$ x²﹣ $\frac{4}{3}$ x+2，解得x=0或x=﹣2．

∴G（﹣2，2）．

抛物线的对称轴为x=﹣1，

∵GH⊥x轴，

∴H（﹣2，0）．

∴△DOC与△DHG关于直线x=﹣1对称．

∴要使DMN与△DCO相似，只需△DMN与△DGH相似．

∵MN∥GH，

∴△DMN∽△DGH．

设直线DH的解析式为y=kx+b，将点H和点D的坐标代入得： ${\begin{matrix} - 2 k + b = 0 \\ - k + b = \frac{8}{3} \end{matrix}$ ，

解得：k= $\frac{8}{3}$ ，b= $\frac{16}{3}$ ．

∴直线DH的解析式为y= $\frac{8}{3}$ x+ $\frac{16}{3}$ ．

将x=﹣ $\frac{3}{2}$ 代入得：y= $\frac{4}{3}$ ．

∴N（﹣ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{4}{3}$ ）．

③如图2所示：过点E作EF⊥y轴，交抛物线的对称轴与点G，则G（﹣1， $\frac{5}{2}$ ）过点E作EF′⊥x垂足为F′．

设直线EC的解析式为y=mx+n将点E和点C的坐标代入得： ${\begin{matrix} n = 2 \\ - \frac{3}{2} m + n = \frac{5}{2} \end{matrix}$ ，

解得：m=﹣ $\frac{1}{3}$ ，n=2．

∴直线EC的解析式为y= $- \frac{1}{3}$ x+2．

当x=﹣1时，y= $\frac{7}{3}$ ．

∴DG=GM．

∴点M与点D关于EF对称．

∴EF是∠DEC的角平分线．

∴点F到点F到EC、ED的距离相等．

∴EF= $\frac{3}{2}$ ．

∵EF′⊥x垂足为F′．

∴∠FEF′=90°，

∴∠DEF+∠HEF′=90°，∠FEC+∠CEF′=90°．

又∵∠DEF=∠FEC，

∴∠HEF′=∠CEF′．

∴EF′是∠HEC的平分线，

∴点F′到DE和EC的距离相等．

∴EF′= $\frac{5}{2}$ ．

综上所述，EF的长为 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{5}{2}$ ．

2017年江苏省徐州市部分学校中考数学一模试卷