解：①如图1所示，点F在抛物线上，作DG⊥y轴，FH⊥y轴，

易得△CDG≌△EFH，即CG＝HE，GD＝FH，

由题意得： $C D = E F = \sqrt{3} t ，$

∵△CGD∽△COB，

∴ $\frac{C G}{2} = \frac{\sqrt{3} t}{4} = \frac{G D}{2 \sqrt{3}} ，$

即 $C G = H E = \frac{\sqrt{3}}{2} t ， D G = F H = \frac{3}{2} t ，$

$∵ C E = 2 C D = 2 \sqrt{3} t ，$

∴OH＝ $\frac{3 \sqrt{3}}{2} t - 2$ ，即 $F (- \frac{3}{2} t ， - 2 + \frac{3 \sqrt{3}}{2} t) ，$

代入抛物线解析式得： $- 2 + \frac{3 \sqrt{3}}{2} t = - \frac{1}{3} \times \frac{9}{4} t^{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} \times (- \frac{3}{2}) + 2 ，$

解得：t= $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ；

②分三种情况考虑：

（i）如图2所示，△ABC与矩形CDEF重叠部分为矩形CDEF，

在Rt△CDE中， $C D = \sqrt{3} t ， ∠ E C D = 60 ° ，$

∴DE＝3t，

$∴ S = 3 t \cdot \sqrt{3} t = 3 \sqrt{3} t^{2} (0 < t \leq \frac{\sqrt{3}}{3}) .$

（ii）如图3所示，△ABC与矩形CDEF重叠部分为五边形CDHGF，

由题意得： $C D = \sqrt{3} t ，$

在Rt△CED中，∠ECD＝60°，

∴ $C E = 2 \sqrt{3} t ，$

∴ $O E = 2 \sqrt{3} t - 2 ，$

在Rt△OGE中， $G E = 2 O E = 4 \sqrt{3} t - 4 ，$

同理可得 $E H = 4 t - \frac{4 \sqrt{3}}{3} ，$ 即 $S_{△ G E H} = \frac{1}{2} G E \cdot E H = (2 \sqrt{3} t - 2) (4 t - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ，$

则 $S = \sqrt{3} t \cdot 3 t - (2 \sqrt{3} t - 2) (4 t - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = - 5 \sqrt{3} t^{2} + 16 t - \frac{8 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} < t \leq \frac{4 \sqrt{3}}{9}) ；$

（iii）如图4，△ABC与矩形CDEF重叠部分为四边形CDMN，

由题意得： $C N = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} ， C D = \sqrt{3} t ， B D = 4 - \sqrt{3} t ，$

在Rt△BMD中， $D M = \frac{4 - \sqrt{3} t}{\sqrt{3}} ，$

则 $S = S_{△ B C N} - S_{△ B D M} ，$

$= \frac{1}{2} C N \cdot B C - \frac{1}{2} B D \cdot D M$ ，

$= \frac{1}{2} \times \frac{4 \sqrt{3}}{3} \times 4 - \frac{1}{2} \times (4 - \sqrt{3} t) \times \frac{4 - \sqrt{3} t}{\sqrt{3}} ，$

$= - \frac{\sqrt{3}}{2} t^{2} + 4 t (\frac{4 \sqrt{3}}{9} < t \leq \frac{4 \sqrt{3}}{3}) .$

广西河池市两县一区2019届数学中考模拟试卷（一）