解：存在点P使四边形PM₁MD的面积最大.

连接M₁D，如图，

∵S_△_M1MD是定值，∴要使四边形PM₁MD的面积最大，只要S_△_M1PD最大，将△M₁PD绕点B顺时针旋转90°，则点M₁与点M重合，点P与点Q重合，点D与点F重合，则点Q，F都在抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{15}{4}$ 上，由于F点的纵坐标为5，当y=5时，解得x₁=-5，x₂=7（舍去），∴点F的坐标为（-5，5），设点Q的坐标为（m， $\frac{1}{4} m^{2} - \frac{1}{2} m - \frac{15}{4}$ ）易得直线MF的表达式为y= $- \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$

∴S_△_PDM1=S_△_QMF= $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2} m - \frac{5}{2} - \frac{1}{4} m^{2} + \frac{1}{2} m + 15) (1 + 5)$ = $- \frac{3}{4} {(m + 2)}^{2} + \frac{27}{4}$

当m=-2时，S_△_M1PD最大= $\frac{27}{4}$ ∴点Q（-2， $- \frac{7}{4}$ ∴点P的坐标为（ $\frac{27}{4}$ ，-7），

∵点M的坐标为（1，-4），点M₁的坐标为（9，-4），D（0，-10），

∴S_△_DM1M的面积=24，∴四边形PM₁MD的面积为24+ $\frac{27}{4}$ = $\frac{123}{4}$ ，∴点P的坐标为（ $\frac{27}{4}$ ，-7）使四边形PM₁MD的面积最大，面积最大值为 $\frac{123}{4}$ .

初中数学浙教版九年级上册第一章 二次函数 单元检测

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