解：作AB的垂直平分线交x轴于E，交AB与F，如图，

AB= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，则BF= $\text{[math]}$ ，

∵∠BEF=∠BAO，

∴Rt△BEF∽Rt△BAO，

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得BE=10，

∴E（8，0），

而F（﹣1，﹣3），

设直线EF的解析式为y=kx+b，

把E（8，0），F（﹣1，﹣3）代入得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，

∴直线EF的解析式为y= $\text{[math]}$ x﹣ $\text{[math]}$ ，

把方程 $\text{[math]}$ （x﹣1）²﹣8+m= $\text{[math]}$ x﹣ $\text{[math]}$ ，整理得3x²﹣8x+6m﹣29=0，

△=（﹣8）²﹣4×3×（6m﹣29）=﹣72m+412，

当△=0，即﹣72m+412=0，解得m= $\text{[math]}$ 时，抛物线y1与直线EF只有一个公共点，此时抛物线y₁上存在一个点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形；

当△＞0，即﹣72m+412＞0，解得m＜ $\text{[math]}$ ，则m的范围为3＜m＜ $\text{[math]}$ ，抛物线y₁与直线EF有两个公共点，此时抛物线y₁上存在两个点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形；

当△＜0，即﹣72m+412＜0，解得m＞ $\text{[math]}$ 时，则m的范围为 $\text{[math]}$ ＜m＜8，抛物抛物线y₁与直线EF没有公共点，此时抛物线y₁上不存在一个点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形．

2017年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷