解：存在.

∵当t＝ $\sqrt{2}$ 时，S有最大值，此时P（ $\sqrt{2}$ ，﹣4），

①如右图2，

当AP为平行四边形的边且M在对称轴左侧时，则有MN∥AP，且MN＝AP，过P作平行于y轴的直线，交x轴于点Q，作MR垂直于过点N且平行于x轴的直线，垂足为R，连接AR，QN.过M作MS垂直于抛物线对称轴于点S.

易证明四边形ARNQ为平行四边形.

∵A（﹣ $\sqrt{2}$ ，0），Q（ $\sqrt{2}$ ，0），

∴AQ＝NR＝MS＝2 $\sqrt{2}$ ，

设M（m，m²﹣ $\sqrt{2}$ m﹣4）.

∵对称轴为x＝ $\frac{- \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

∴ $m - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$ .

∴M点的横坐标为 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ （舍去）或 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

代入抛物线y＝x²﹣ $\sqrt{2}$ x﹣4得，y＝ $\frac{7}{2}$ ，

∴当M在对称轴左边时，坐标为 $(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} ， \frac{7}{2})$ .

y_N＜y_M，此时y_M﹣y_N＝y_A﹣y_P，即 $\frac{7}{2}$ ﹣y_N＝0﹣（﹣4）.

解得，y_N＝﹣ $\frac{1}{2}$ .

∴此时N点坐标为（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，﹣ $\frac{1}{2}$ ）.

如右图3，

当M在对称轴右侧时，则有MN∥AP，且MN＝AP，过P作平行于y轴的直线，交x轴于点Q，作MR垂直于抛物线对称轴直线于点R，垂足为R，

同理易得M点坐标为 $(\frac{5 \sqrt{2}}{2} ， \frac{7}{2})$ .

此时y_N＞y_M，此时y_N﹣y_M＝y_A﹣y_P，即y_N﹣ $\frac{7}{2}$ ＝0﹣（﹣4），

解得，y_N＝ $\frac{15}{2}$ .

∴N点坐标为 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{15}{2})$ .

②如右图4，

当AP为对角线时，过M作平行于y轴的直线，过P作平行于x轴的垂线，交于点Q，此时P到Q点的距离等于A到对称轴的距离，为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

∴t＝ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

∴M的横坐标为﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

当x＝﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，y_M＝（﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）²﹣ $\sqrt{2}$ ×（﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）﹣4＝﹣ $\frac{5}{2}$ .

∴此时M点坐标为 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{5}{2})$ ，

由平行四边形的中心对称性，易得N到x轴的距离等于MQ.

∴N $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{3}{2})$ .

综上所述，满足题意的M、N点的坐标可以为， $M (- \frac{3 \sqrt{2}}{2} ， \frac{7}{2}) ， N (\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{1}{2})$ ，或 $M (\frac{5 \sqrt{2}}{2} ， \frac{7}{2}) ， N (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{15}{2})$ ，或 $M (- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{5}{2}) ， N (\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{3}{2})$

云南省昆明市2019届数学中考模拟试卷（4月）