解：①∵动点P，Q同时作匀速直线运动，

∴s关于t成一次函数关系，设s=kt+b，

将 ${\begin{cases} t = 2 \\ s = 2 \sqrt{5} \end{cases}$ 和 ${\begin{cases} t = 4 \\ s = 5 \sqrt{5} \end{cases}$ 代入得 ${\begin{cases} 2 k + b = 2 \sqrt{5} \\ 4 k + b = 5 \sqrt{5} \end{cases}$ ，解得 ${\begin{cases} k = \frac{3}{2} \sqrt{5} \\ b = - \sqrt{5} \end{cases}$ ，

∴s= $\frac{3}{2} \sqrt{5} t - \sqrt{5}$ .

②（i）当PQ∥OE时（如图2），

∠QPB=∠EOB=∠OBE，

作QH⊥x轴于点H，则PH=BH= $\frac{1}{2}$ PB.

∵BQ=6 $\sqrt{5}$ -s=6 $\sqrt{5}$ - $\frac{3}{2} \sqrt{5} t$ + $\sqrt{5}$

=7 $\sqrt{5}$ - $\frac{3}{2} \sqrt{5} t$ ，

又∵cos∠QBH= $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ ，

∴.BH=14-3t，∴PB=28-6t，

∴t+28-6t=12，∴t= $\frac{16}{5}$

（ii）当PQ∥OF时（如图3），过点Q作QG⊥AQ₃于点G，过点P作PH⊥GQ于点H，

由△Q₃QG~△CBO得Q₃G：QG：Q₃Q=1：2： $\sqrt{5}$ ，

∵Q₃Q=s= $\frac{3}{2} \sqrt{5} t - \sqrt{5}$ ，

∴Q₃G= $\frac{3}{2}$ t-1，QG=3t-2，

∴PH=AG=AQ₃-Q₃G

=6-（ $\frac{3}{2}$ t-1）=7- $\frac{3}{2}$ t，

QH=QG-AP=3t-2-t=2t-2.

∵∠HPQ=∠CDN，

∴tan∠HPQ=tan∠CDN= $\frac{1}{4}$ ，

∴2t-2= $\frac{1}{4}$ （7- $\frac{3}{2}$ t），∴t= $\frac{30}{19}$

（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行.

综上所述，当PQ与△OEF的一边平行时，AP的长为 $\frac{16}{5}$ 或 $\frac{30}{19}$

2019年浙江省中考数学分类汇编专题04：函数及其图象（函数基础知识与一次函数）