解：如图，设M(m，0)，

则p(m， $- \frac{2}{3} m + 2$ )，N(m， $- \frac{4}{3} m^{2} + \frac{10}{3} m + 2)$

$PN = y_{N} - y_{P}$ = $(- \frac{4}{3} m^{2} + \frac{10}{3} m + 2) - (- \frac{2}{3} m + 2)$

= $- \frac{4}{3} m^{2} + 4 m$

由于四边形OBNP为平行四边形得PN=OB=2，

解方程 $- \frac{4}{3} m^{2} + 4 m = 2 ， m = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} 或 \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ .

即 $m = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} 或 \frac{3 - \sqrt{3}}{2} .$

有两解，N点在AB的上方或下方，m= $\frac{25}{4}$ 与m= $\frac{47}{20}$ .

如图连接BN，过点B作BN的垂线交x轴于点G，过点G作BA的垂线，垂足为点H.

由 $∠ PBN = 45^{0}$ 得 $∠ GBH = 45^{0}$ ，

从而设GH=BH=t，则由 $△ AHG \sim △ AOB$ ，得AH= $\frac{3}{2} t ， G A = \frac{\sqrt{13}}{2} t$ ，

由AB=t+ $\frac{3}{2} t$ = $\sqrt{13}$ ，解得t= $\frac{2 \sqrt{13}}{5}$ ，

从而OG=OA-AG=3- $\frac{13}{5}$ = $\frac{2}{5}$ .即G( $\frac{2}{5} ， 0$ )

由B(0，2)，G( $\frac{2}{5} ， 0$ )得 $y_{B G} = - 5 x + 2 ， y_{B N} = 0.2 x + 2$ .

将 $y_{B G} = - 5 x + 2 ， y_{B N} = 0.2 x + 2$ 分别与 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + \frac{10}{3} x + 2$ 联立，

解方程组得m= $\frac{25}{4}$ ，m= $\frac{47}{20}$ .

故m= $\frac{25}{4}$ 与m= $\frac{47}{20}$ .

广东省佛山市南海区桂城街道2018-2019学年中考数学5月模拟考试试卷