由（1）知C（0，4），∵B（8，0），

易得直线BC的解析式为：y=﹣ $\frac{1}{2}$ x+4，

① 如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，

Rt△BOC中，OC=4，OB=8，

∴BC= $\sqrt{4^{2} + 8^{2}} = 4 \sqrt{5}$

在Rt△PDE中，PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ PE，

∴当线段PE最长时，PD的长最大，

设P（t， $- \frac{1}{4} t^{2} + \frac{3}{2} t + 4$ ），则E（t， $- \frac{1}{2} t + 4$ ），

∴PG= $- \frac{1}{4} t^{2} + \frac{3}{2} t + 4$ ，EG=﹣ $\frac{1}{2}$ t+4，

∴PE=PG﹣EG=（ $- \frac{1}{4} t^{2} + \frac{3}{2} t + 4$ ）﹣（﹣ $\frac{1}{2}$ t+4）=﹣ $\frac{1}{4}$ t²+2t=

﹣ $\frac{1}{4}$ （t﹣4）²+4，（0＜t＜8），

当t=4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），

∴PD= $\frac{2 \sqrt{5}}{5} \times 4$ = $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，

即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ；

②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），

∴OA=2，OB=8，OC=4，

∴AC²=2²+4²=20，AB²=（2+8）²=100，BC²=4²+8²=80，

∴AC²+BC²=AB²，

∴∠ACB=90°，

∴△COA∽△BOC，

当△PDC与△COA相似时，就有△PDC与△BOC相似，

∵相似三角形的对应角相等，

∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO，

（I）若∠PCD=∠CBO时，即Rt△PDC∽Rt△COB，

此时CP∥OB，

∵C（0，4），

∴yP=4，

∴ $- \frac{1}{4} t^{2} + \frac{3}{2} t + 4$ = 4，

解得：x₁=6，x₂=0（舍），

即Rt△PDC∽Rt△COB时，P（6，4）；

（II）若∠PCD=∠BCO时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，

如图2，过P作x轴的垂线PG，交直线BC于F，

∴PF∥OC，

∴∠PFC=∠BCO，

∴∠PCD=∠PFC，

∴PC=PF，

设P $(n ， - \frac{1}{4} n^{2} + \frac{3}{2} n + 4)$ ，则PF= $- \frac{1}{4} n^{2} + 2 n$

过P作PN⊥y轴于N，

Rt△PNC中，PC²=PN²+CN²=PF²，

∴ $n^{2} + {(- \frac{1}{4} n^{2} + \frac{3}{2} n + 4)}^{2} = {(- \frac{1}{4} n^{2} + 2 n)}^{2}$

解得：n=3

即Rt△PDC∽Rt△BOC时，P（3， $\frac{25}{4}$ ）；

综上所述，当△PDC与△COA相似时，点P的坐标为（6，4）或（3， $\frac{25}{4}$ ）．

四川省眉山市仁寿县华兴联谊学校2018-2019学年中考数学二模考试试卷