解：设

P F = 3 x

，则

A F = 4 x ， A P = 5 x

，

①当 $P F = P D$ 时，如图.

$P D = \frac{32}{5} - 5 x$

∴ $3 x = \frac{32}{5} - 5 x$

∴ $x = \frac{4}{5}$ ，

∴ $P F = \frac{12}{5}$ .

②当 $Q F = P D$ 时，如图，连结 $Q D$ .

∴ $P F ∕ ∕ Q D$ ，即 $P F ∕ ∕ Q D ∕ ∕ E C$

∴ $\frac{F Q}{F E} = \frac{P D}{P C}$ ，所以 $F E = P C$ .

由（1）得：四边形 $E F P B$ 为平行四边形，

∴ $P B = E F = P C$ ，

在 $R t Δ A B C$ 中，易得 $A P = P B = P C$

∴ $5 x = 5$ ，

则 $x = 1$ ，

∴ $P F = 3$ .

③当 $Q F = P F$ 时，如图，连结 $B Q$ .

∵ $E F ∕ ∕ P B$

∴ $F P = B Q ， F Q = B Q$ ，

∴ $F Q = B Q$

在 $R t Δ E B F$ 中，易得 $F Q = \frac{1}{2} E F = \frac{1}{2} P B$

∴ $P F = \frac{1}{2} P B$ ，且 $∠ B F P = 90 °$ .

∴ $∠ F B P = 30 °$ ，

∴ $F B = \sqrt{3} P F$ .

∴ $8 - 4 x = 3 \sqrt{3} x$ ，

∴ $x = \frac{24 \sqrt{3} - 32}{11} ， P F = \frac{72 \sqrt{3} - 96}{11}$ ，

综上所述，所有满足条件的PF的长有： $\frac{12}{5} ， 3 ， \frac{72 \sqrt{3} - 96}{11}$ ；

②连接QD，连接FD，交BP于点H.

∵Q，O，D三点共线

∴QD为⊙O直径.

∵EF∥BP，O为QD中点，

∴H为DF中点，

∵BP为直径，

∴BP⊥DF， $\vec{P F} = \vec{P D}$ ，

∴PF＝PD.

设PF＝3x，则AF＝4x，AP＝5x

AD＝ABsin∠ABD＝ABsin∠C＝8× $\frac{4}{5} = \frac{32}{5}$ ，

∴PD＝AD﹣AP＝ $\frac{32}{5}$ ﹣5x，

∴3x＝ $\frac{32}{5}$ ﹣5x，

∴x＝ $\frac{4}{5}$ ，PF＝PD＝ $\frac{12}{5}$ ，

在Rt△ABC中，BD＝ $\frac{A B \cdot B C}{A C} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{24}{5}$ ，

$B P = \sqrt{{PD}^{2} + {BD}^{2}} = \sqrt{{(\frac{12}{5})}^{2} + {(\frac{24}{5})}^{2}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5} ， Q D = B P = \frac{12}{5} \sqrt{5}$

在Rt△PDB中，DH＝ $\frac{12 \cdot B D}{P B} = \frac{\frac{12}{5} \times \frac{24}{5}}{\frac{12}{5} \sqrt{5}} = \frac{24}{25} \sqrt{5}$ ，

∴DF＝ $\frac{48}{25} \sqrt{5}$ ，

在Rt△DQF中，QF＝ $\sqrt{Q D^{2} - D F^{2}} = \sqrt{{(\frac{12}{5} \sqrt{5})}^{2} - {(\frac{48}{25} \sqrt{5})}^{2}} = \frac{36}{25} \sqrt{5}$ ，

易知△FQM∽△BDM，

∴ $\frac{S_{1}}{S_{2}} = {(\frac{F Q}{B D})}^{2} = {(\frac{\frac{36}{25} \sqrt{5}}{\frac{24}{5}})}^{2} = \frac{9}{20}$ .

浙江省温州市龙湾区2019届九年级毕业升学第一次适应性考试数学试卷