证明：以O为原点，OA为x轴，ON为y轴，OD为z轴，

建立如图所示的直角坐标系

设 $\vec{D E} = λ \vec{D B}$ ，则平面AMD的一个法向量 $\vec{n} = (0 ， 1 ， 0)$ ，

$\vec{M E} = \vec{M D} + λ \vec{D B}$ =（1﹣λ，2λ，1﹣λ）， $\vec{A M} = (- 2 ， 0 ， 0)$ ，

设平面AME的一个法向量 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，

则 ${\begin{cases} \vec{m} \cdot \vec{A M} = 0 \\ \vec{m} \cdot \vec{M E} = 0 \end{cases}$ ，∴ ${\begin{cases} 2 x = 0 \\ 2 λ y + (1 - λ) z = 0 \end{cases}$

取y=1，得x=0，y=1， $z = \frac{2 λ}{λ - 1}$ ，∴ $\vec{m} = (0 ， 1 ， \frac{2 λ}{λ - 1})$ ，

∵ $| \cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 |$ = $\frac{| \vec{m} \cdot \vec{n} |}{| \vec{m} | | \vec{n} |} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．∴得 $λ = \frac{1}{3}$ 或λ=﹣1，经检验得 $λ = \frac{1}{3}$ 满足题意．

∴E为BD的三等分点．

2016-2017学年河南省豫南九校联考高二下学期期中数学试卷（理科）