解：如图①

作MN垂直且平分线段AC，交y轴与点F．连接FA，则∠OFA＝2∠OCA

由MN垂直平分AC得FC＝FA，设F（0，n），则OF＝n，OA＝1

在Rt△OAF中，由勾股定理得，AF＝ $\sqrt{O A^{2} + O F^{2}}$ ＝ $\sqrt{1 + n^{2}}$

∴FC＝ $\sqrt{1 + n^{2}}$

∴OC＝OF+FC＝n+ $\sqrt{1 + n^{2}}$ ＝3

∴ $\sqrt{1 + n^{2}}$ ＝3﹣n

等式左右两边同时平方得，1+n²＝（3﹣n）²

解得，n＝ $\frac{4}{3}$

∴F（0， $\frac{4}{3}$ ）

∴tan∠OFA＝ $\frac{O A}{O F}$ ＝ $\frac{1}{\frac{4}{3}}$ ＝ $\frac{3}{4}$

①当抛物线上的点E在x轴下方时，作EG⊥x轴于点G，并使得∠EAB＝∠OFA．

设点E（m，m²﹣4m+3），其中1＜m＜3，则tan∠EAB＝ $\frac{E G}{A G}$ ＝ $\frac{- m^{2} + 4 m - 3}{m - 1}$ ＝ $\frac{3}{4}$

整理得，4m²﹣13m+9＝0

解得，m₁＝ $\frac{9}{4}$ ，m₂＝1（舍去）

此时E点坐标为（ $\frac{9}{4}$ ，﹣ $\frac{15}{16}$ ）

②当抛物线上的点E'在x轴上方时，作E'H⊥x轴于点H，并使得∠E'AB＝∠OFA．

设点E'（m，m²﹣4m+3），其中m＞3，则tan∠E'AB＝ $\frac{E^{'} H}{A H}$ ＝ $\frac{m^{2} - 4 m + 3}{m - 1}$ ＝ $\frac{3}{4}$

整理得，4m²﹣19m+15＝0

解得，m₃＝ $\frac{15}{4}$ ，m₄＝1（舍去）

此时E’点坐标为（ $\frac{15}{4}$ ， $\frac{33}{16}$ ）

综上所述，满足题意的点E的坐标可以为（ $\frac{9}{4}$ ，﹣ $\frac{15}{16}$ ）或（ $\frac{15}{4}$ ， $\frac{33}{16}$ ）

广东省深圳实验学校初中部2018-2019学年中考数学二模试卷